注意看最后一个式子所描述的空气阻力，它正是斯托克斯定律所给出的表达式，其中μ是空气的粘滞系数，R是雨滴半径，v是雨滴相对空气的速度，这三个量的一次方相乘再乘以6π就得到了球形物体在不可压缩定常流体中所受到的阻力。本节课的任务，正是从基本的流体力学最基本的NS方程出发，推导出斯托克斯定律。不过在进入正题前，先看看斯托克斯定律在雨滴下落情景中发挥的作用。

建立好坐标系后，就可以写出空气的各点性质关于坐标的函数，比如各个位置上的压强p(r,θ,?)和速度v(r,θ,?)。物理学家通常用场的概念描述这种随空间分布的性质，比如压强就是一个标量场，速度就是一个矢量场。一般的场还会带有时间坐标t，但这里研究的是达到稳定状态后的现象，所以可以忽略坐标t。

流体力学中的压强场和速度场，就好像质点力学中的力和速度。上一节课将雨滴看成一个质点，用牛顿第二定律写下了它的运动方程。本节要研究的是，空气作为一个黏滞流体，它会给在其中做相对运动的雨滴一个什么样的阻力（有时也叫流体曳力，drag）。为了求解空气阻力，需要先求出空气自己的运动状态，而空气作为一个流体，它的运动方程可以由NS方程给出

NS方程本质上就是牛顿第二定律在流体上的应用，方程的左边类似于ma，其中加速度包含速度场对时间的偏导项，和速度场对空间偏导后再对时间求偏导，方程的右边类似于F，其中包含了压强梯度所导致的正向压力差，和流体运动的粘性所导致的粘滞力。

现在假设流体已经达到了稳态，所以NS方程左边第一项，也就是关于时间求偏导的项为0。而方程左边的第二项是一个速度场关于空间分布变化率的项，可以进一步假设流体微元在随着流线运动的过程中速度的空间变化率是缓慢的，也就是近似认为NS方程左边第二项为0。经过稳态和空间缓变的这样两个假设，NS方程被简化为了一个线性的微分方程

方程的左边是一阶导，右边是二阶导，有没有可能将右边降阶为一阶导呢？回忆矢量微积分中有这样一条公式

这里引入第三个假设：在速度比较小时空气是不可压缩的流体。这个假设在流速小于0.3倍音速的情形下通常是成立的。在不可压缩假设下，空气密度是一个常量，所以质量守恒导出速度场是无散的

这个等式的右边看起来还是二阶导，但与(1)式不同的是，这里的nabla算子▽是依次以叉乘的形式作用在后面的矢量上的，而(1)式是两个nabla算子以点乘成拉普拉斯算子的形式作用到速度矢量上，前者的两次求导操作是容易拆分的，后者要拆分的话比较困难，需要先作用一次导出二阶张量再求散度来缩并回一阶矢量。受到(4)式的启发，可以定义一个中间变量

它是速度场的旋度，称为涡度(vorticity)。这样就能把(1)式右边也降阶为一阶导的形式

这里巧妙地引入了涡度场来代替速度场，从而让NS方程两边的求导阶数相等。而巧合的是，电动力学中也曾有类似的操作。张朝阳将电动力学的量类比成三层楼，第一层是电势Φ和磁矢势A，第二层是电场E和磁场B，第三层是电荷密度ρ和电流密度j。每上升一层就对应求一次导，例如

比较(5)和(7)，不难看出对于同样是无散的速度场和磁场，都可以利用它们的旋度，也就是涡度和电流密度，来作为中间变量进而简化方程。

经过三个假设后，NS方程简化为了(6)式，它是一个关于压强场和涡度场的方程，有没有可能将这两个场分开呢？首先，注意到任何一个矢量场的旋度无散，即

单独一个(8)式只给出了压强场的信息，显然它损失了涡度场的信息。张朝阳打比方道，这就像是有两个数3和4，将它们乘在一起得到了12，但单独一个12是还原不出3和4的，它也可能对应2和6。类似的道理，对方程(6)求散度得到(8)式是会损失信息的，还需要再从方程(6)导出涡度场的信息。同样地，注意到任意一个标量场的梯度无旋，即

这里再次利用了矢量微积分的公式(2)。另外，涡度是速度场的旋度，所以它是无散的。因此涡度场也满足泊松方程

上一节将NS方程简化成了两个泊松方程，一个是关于压强标量的式(8)，另一个是关于涡度矢量的式(9)。标量的泊松方程在之前的课上有相当多的处理经验，但矢量的泊松方程是之前从没遇到过的，为此需要先研究一下矢量被拉普拉斯算符作用后得到的是什么。

根据流体运动的轴向对称性，速度矢量应该只有径向分量v_r和极角方向的分量v_θ，而没有方位角方向上的分量v_?，并且各方向的速度分量对?的求导都为0。基于对速度场的轴对称性的认知，可以在球坐标下写出涡度

为了方便对这个二阶张量求散度，接下来把它切换到直角坐标系下，将vec{e}_?和vec{e}_ρ用vec{i}和vec{j}展开

或者更显式地，把它写成一个2×2的矩阵形式（因为ω没有z方向分量，可以把问题简化在xy平面上）

至此，(12)式的第二项化为了直角坐标系下的形式，无论从张量积的形式看还是从矩阵的形式看，它都是一个二阶张量，可以用字母F上加两个箭头来表示这是一个二阶张量。对这个二阶张量再求一次散度

一个朴素的想法是，先将这些量的一次方相乘起来，看看量纲是什么

和压强的量纲正好差L2，因此可以大胆地假设，(19)式中只包含r^(-2)的项。当然这里会有一个小问题，R/r是一个无量纲量，完全可以在表达式中再乘上这一无量纲量来维持量纲的平衡。针对这个不确定性，数学家们已经证明了，在给定足够的边界条件下，微分方程的解具有唯一性，因此只要求出了其中一个满足边界条件的解，就可以认为得到了完整的解。

再来看(16.b)的涡度场方程，径向部分的分析和压强场是一样的，而角向部分相比(18)式会多出一项

多出来的第三项，正好是球谐函数Y在m=1时方位角分量e^(im?)被拉普拉斯算子作用后出现的项

如果和压强场一样，也朴素地假设它含有R的一次项和v?的一次项，那么可以推断(22)式只含有r^(-2)的项，也就是l=1。由于

上一节利用之前的物理课解氢原子薛定谔方程的经验，成功得出了压强场(20)和涡度场(23)，但它们各自都有一个待定系数，需要用边界条件来定出。然而涡度的边界条件是难以给定的，因为根据(10)式，它和速度的两个分量vr、vθ的导数都有关系。回忆引入涡度时，出发点是为了将(1)式右边的二阶导变成一阶导，相当于视角升了一个台阶，从而降低微分的阶数。那么有没有可能再转化一次视角，把vr和vθ统一成另一个中间量，以便于引入边界条件呢？

答案是可行的。在引入涡度时，曾将速度场类比成磁场，因为它们都具有无散的性质，可以通过(2)式将拉普拉斯算子转化为两个散度的依次作用。无散的矢量场还有一个性质，就是它们总可以写成另一个矢量场的旋度，正是这一点允许从磁场定义一个磁矢势。同理，可以定义一个矢量场vec{Ψ}，它的旋度等于速度场，从而将视角降一个台阶

和一般的在球坐标下求散度的情形不同的是，最后一步重新定义了Ψ?，把rsin(θ)吸收了进去，并简记为Ψ，称为斯托克斯流函数。再次利用轴对称的性质，可以知道v没有?方向的分量，且Ψ是一个与?无关的函数，所以

到这一步，就把两个速度分量统一成了一个斯托克斯流函数。将它们代入(10)式

当然，空气应该还有个大气压强p?作为背景压强，但加上一个常数并不影响压强场的梯度，因此这里可以忽略大气压。

在本文最开始介绍完整的NS方程时，就说道等号右侧代表流体受力的两项分别是压强梯度导致的正向压力差和流体粘性导致的粘滞力。流体对雨滴的作用力也一样有这两个来源，所以对于流体的应力张量，它的表达式是

最终作用在球体上的力，就是这个二阶的应力张量与球面的法向量vec{e}?点乘得到的一阶矢量在整个球面上的积分。正是由于二阶张量有非对角项，点乘出的力并不一定垂直于法向，而是会有一定的切向分量。

上式最后一步代入r=R时，r方向上的速度梯度刚好是一个极值点，所以不贡献粘滞力，只有θ方向贡献出来一个切向的压强。将这个压强的z分量在球面上积分

这说明这一项在球面不会贡献压强。其中第二个等号运用了球坐标单位基矢的求导关系

回顾整堂课的推导过程，虽然要解决的是流体力学问题，但其中贯穿了各个领域的知识，比如从电动力学的矢量微积分引入了涡度、速度、斯托克斯流函数的“三层楼”，借用量子力学中的球谐函数解出了涡度角向分量的泊松方程。当然，从历史进程来看，数学家们先是在研究流体力学时发展了这些工具，再到后来发展电动力学和量子力学时，人们就可以直接使用这些已经发展好的工具。而《张朝阳的物理课》研习路径则刚好反了过来，是先学习了电动力学和量子力学，再来研究这个大部分普通物理课上一笔带过的斯托克斯定律。张朝阳以此提示大家，学科的发展本就没有领域的限制，只有将一个领域的内容学扎实了，才能在面对新问题时灵活运用先前的知识。

本堂课也是在向斯托克斯致敬。斯托克斯在剑桥执教期间对流体力学领域做出很多奠基性的贡献，并早在1851年就得出了今天所讲的斯托克斯定律。他的研究对后世产生了深远的影响，比如矢量分析的工具帮助了麦克斯韦在1865年建立起电磁方程组，密立根油滴实验用到了斯托克斯定律来确定油滴的质量，风洞试验、汽车风阻模拟、机翼设计等工程问题也处处有NS方程的身影。NS方程的解的存在性与光滑性至今仍是数学界的研究热点，并在21世纪初被列为千禧年七大数学难题之一。尽管现在能借助计算机数值求解NS方程，但寻找解析解依旧是帮助人们理解物理图像的重要手段之一。

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